FAMÍLIA SERVE A CIÊNCIA POR 100 ANOS

Nenhuma família na história da Matemática produziu tantos matemáticos célebres quanto a família Bernoulli. Oriunda dos Países Baixos espanhóis, esta família emigrou em 1583 para Basiléia, na Suíça, fugindo da guerra. Cerca de uma dúzia de membros da família conseguiu renome na Matemática e na Física, sendo quatro deles eleitos como sócios estrangeiros da Academia das Ciências, da França.

Os Bernoullí matemáticos: árvore genealógica

Os primeiros Bernoulli que se destacaram em Matemática foram Jacques e Jean, respectivamente quinto e décimo filhos de Nicolaus.

Jacques viajou muito para encontrar cientistas de outros países. Destacou-se por seus estudos sobre infinitésimos, seus artigos sobre máximos e mínimos de funções publicadas na revista "Acta Eruditorum" (Anotações dos eruditos), suas pesquisas sobre séries infinitas em que aparece o resultado célebre conhecido como "desigualdade de Bernoulli": (1 + x)ⁿ > 1 + + nx. A ele é também atribuída a demonstração de que a série harmônica é divergente.

Jacques tinha uma verdadeira fascinação por curvas, tendo estudado várias delas: a parábola semi-cúbica, a lemníscata, a catenária, a isócrona a espiral logarítmica, etc.

Jean Bernoulli segundo a vontade do seu pai deveria ser médico, porém indo estudar em Paris, desgarrou para a Matemática, escrevendo em 1691-1692 dois livros de Cálculo que foram publicados muito mais tarde. Em 1692, passou a ensinar Cálculo a um jovem marques de L'Hospital e, em troca de um salário regular, concordou em enviar ao nobre francês suas descobertas matemáticas, para serem usadas como o marquês o desejasse. A conseqüência foi que uma das mais importantes descobertas de Jean passou à História com nome "regra de L'Hospital" se f(x) e g(x) são funções diferenciáveis em x = a, f(a) - 0 e g(a) - 0,

então existe  e   =   

Os irmãos Jean e Jacques mantinham intensa correspondência com Leibniz pois todos eles colaboravam com artigos para a mesma revista, "Acta Eruditorum" (Anotações dos eruditos). Jacques é também autor do clássico "Arte de conjecturar", considerada a mais antiga obra sobre probabilidade.

Jean Bernoulli (1667 - 1748)

Jacques Bernoulli (1654 - 1705)

Jean foi pai de Nicolas, Daniet e Jean II. Nicolas foi professor de Matemática em S. Petersburgo e Daniel e Jean II foram professores em Basiléia. Outro Bernoulli, Nicolas II, primo desses três, ocupou durante algum tempo o lugar que foi de Galileu, em Pádua.

Da geração mais jovem foi Daniel que mais se destacou com seus resultados em hidrodinâmica e probabilidade.

Daniel Bernoulli (1700 - 1782)

Houve ainda outros Bernoulli que conseguiram evidencia em Matemática, no século XVIII, fazendo juz ao nome da família.

Fundamentos da Matemática Elementar – Vol. 1 – Gelson Iezzi e Carlos Murakami

DESVENDANDO MISTÉRIO DA CONTINUIDADE

Julius W. R. Dedekind (1831 - 1916)

Julius Wilhelm Richar Dedekind foi um dos quatro filhos de uma família luterana de Braunschweig, Alemanha. Entrou em Gõttingen aos dezenove anos e aos vinte e dois obteve seu doutoramento com uma tese sobre Cálculo, elogiada até por Gauss. Foi aluno de Dirichlet e dedicou-se ao ensino secundário em Brunswick até os últimos anos de sua vida.

Preocupado com a natureza das funções e dos números, concentrou-se no problema dos números irracionais desde 1858 quando dava aulas de Cálculo, publicando seu livro mais célebre, "A Continuidade e os Números irracionais”.

Uma de suas grandes dúvidas era sobre o que há na reta geométrica contínua que a distingue dos números racionais, pois, Galileu e Leibniz haviam concluído que entre dois pontos quaisquer sempre existe um terceiro e, assim, os números racionais formam um conjunto denso, mas não contínuo.

Relendo, Dedekind observou que a essência da continuidade da reta não está ligada à densidade mas à natureza da divisão da reta em duas partes, que chamou classes, através de um único ponto sobre a reta. A essa divisão da reta chamou "schnitt" ou "corte", que passaria a ser o apoio da Análise, pois com essa observação "o segredo da continuidade seria revelado".

Dedekind viu também que os pontos de uma reta podem ser postos em correspondência biunívoca com os números reais, o que conseguiu ampliando o conjunto dos racionais. Esta conclusão é conhecida por nós como Axioma de Cantor-Dedekind.

Mais uma de suas observações foi sobre o teorema fundamental dos limites, achando que para obter-se uma demonstração rigorosa deste conceito era necessário desenvolve-lo somente através da Aritmética, sem interferência de métodos geométricos embora estes tenham sido responsáveis por seus brilhantes resultados.

Em 1879 foi o primeiro a dar uma definição explícita de corpo numérico como sendo uma coleção de números que formam um grupo abeliano (comutativo) em relação à adição e multiplicação, no qual a multiplicação é distributiva em relação à adição. Este conceito, que foi fundamental para o desenvolvimento da Álgebra, também é responsável pelo teorema dos inteiros algébricos, bem como introduziu na Aritmética o conceito de "ideal".

Dedekind viveu tantos anos depois de sua célebre introdução dos "cortes" que a famosa editora Tebner deu como data de sua morte, 4 de setembro de 1899. Isto divertiu Dedekind que viveu mais doze anos e escreveu ao editor que passara a data em questão em conversa estimulante com seu amigo Georg Cantor.

Fundamentos da Matemática Elementar – Vol. 1 – Gelson Iezzi e Carlos Murakami

CRIADO UM NOVO PARAÍSO

Georg F. L. P. Cantor (1845 - 1918)

Georg Ferdinand Ludwing Phiilip Cantor nasceu em S. Petersburgo, passando a maior parte de sua vida na Alemanha. Seus pais eram cristãos de ascendência judia, e Georg logo se interessou pelos conceitos de continuidade e infinito da Teologia medieval.

Estudou em Zürìch, Güttingen e Berlim, concentrando-se em Filosofia, Física e Matemática.

Possuindo grande imaginação, em 1867 obteve seu doutoramento em Berlim, com uma tese sobre Teoria dos Números:

Muito atraído pela Análise, sua preocupação estava voltada para a idéia de "infinito", que até 1872 foi muito discutida tanto em Teologia como em Matemática mas sem se chegar a uma conclusão precisa.

Em 1874, Cantor publicou no Journal de Crelle o mais revolucionário artigo que até mesmo seus editores hesitaram em aceitar: havia reconhecido a propriedade fundamental dos conjuntos infinitos e, ao contrário de Dedekind, percebeu que nem todos eram iguais, passando a construir uma hierarquia destes conjuntos conforme suas potências.

Mostrou que o conjunto dos quadrados perfeitos tem a mesma potência que o dos inteiros positivos pois, podem ser postos em correspondência biunívoca; provou que o conjunto de todas as frações é contável ou enumerável e que a potência ,do conjunto dos pontos de um segmento de reta unitário é igual à potência do conjunto dos pontos de um quadrado de lado unitário.

Alguns destes resultados eram tão paradoxais que o próprio Cantor, certa vez escrevendo a Dedekind, disse: "Eu vejo isso, mas não acredito", e pediu ao seu amigo que verificasse a demonstração. Seus incríveis resultados levaram ao estabelecimento da Teoria dos Conjuntos como uma disciplina matemática completamente desenvolvida, de profundos efeitos no ensino.

Os matemáticos da época duvidavam da teoria da infinidade completa de Cantor, mas este, juntando as provas, construiu toda uma aritmética transfinita.

Cantor passou a maior parte de sua carreira na Universidade de Halle, de pouca importância, nunca conseguindo realizar uma de suas grandes aspirações que era a de ser professor na Universidade de Berlim, devido à perseguição de Kronecker.

O reconhecimento de suas realizações mereceram a exclamação de Hilbert: "Ninguém nos expulsará do paraíso que Cantor criou para nós".

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DUPLICAÇÃO DO CUBO

A duplicação do cubo é um dos "três problemas famosos (ou clássicos)"da antigüidade. Não sabemos precisamente quando e por quem este problema foi formulado pela primeira vez, pois existem vários relatos a respeito. Uma das versões diz que como os délios haviam sido atingidos por uma praga, uma delegação foi enviada ao oráculo de Apolo em Delos para perguntar como a peste poderia ser combatida. Este respondeu que para tanto o altar de Apolo, cuja forma era cúbica, deveria ser dobrado. Uma outra versão diz que o rei Minos insatisfeito com o tamanho do túmulo de seu filho Glauco ordenou que o túmulo fosse dobrado, porém sem que perdesse a forma original.

Os gregos obviamente estavam familiarizados com um problema semelhante, porém bem mais simples: duplicar o quadrado.

Dado um quadrado ABCD, traçar a sua diagonal BD e construir um quadrado de lado BD. É fácil perceber que BDEF tem o dobro da área de ABCD. Assim dado um quadrado de lado a é possível encontrar um outro quadrado de lado b cuja área seja o dobro da área do primeiro, portanto:

 (onde b é a diagonal do quadrado original).

Talvez tenha sido esta simples construção que levou os gregos a pensarem em uma solução para o problema da duplicação do cubo.

O primeiro grande passo foi dado por Hipócrates de Chios, provavelmente não muito depois da aparição do problema. Ele propunha encontrar duas médias proporcionais entre segmentos de comprimento s e 2s, ou seja, achar x e y tal que:

 Da primeira igualdade deduzimos que x² = sy e da segunda igualdade que y² = 2sx.

Substituindo o valor de y na segunda igualdade temos que x³ = 2s³. Assim dado o cubo de lado s encontramos um outro de lado x tal que o volume do segundo é o dobro do volume do primeiro. Porém não há construção geométrica para esta dupla proporção.

Também devemos considerar a solução proposta por Arquitas de Tarento, à respeito da qual Heath [Heath, 1931] escreveu:

"A solução de Arquitas é a mais notável de todas, especialmente quando sua data é considerada (primeira metade do séc IV a.C.) porque não é nenhuma construção plana mas uma corajosa construção em três dimensões, determinando um certo ponto como a intersecção de três superfícies de revolução..."

Entretanto todas as soluções eram teóricas e nenhuma solução pratica foi encontrada.

       Apenas no séc XIX , mais de 2000 anos depois da formulação do problema foi que se estabeleceu a impossibilidade da construção sob a limitação de usar apenas régua e compasso (instrumentos euclideanos).

 http://www.matematica.br/historia/duplica-cubo.html