ARQUIMEDES

Arquimedes (287-212 A.C.)

Arquimedes foi o maior matemático da época clássica ocidental e alguns o consideram o maior matemático da história. Ele nasceu em Siracusa, na ilha da Sicília, e na juventude visitou Alexandria, o centro cultural da Grécia. Ali fez amizade com os sucessores de Euclides, na Academia, amizades essas que duraram toda a vida. Retornando a Siracusa, estabeleceu farta correspondência científica com esses cientistas ao mesmo tempo em que compartilhava suas realizações científicas. Em um incidente famoso durante a tomada de Siracusa, um soldado romano matou Arquimedes enquanto o famoso cientista tentava finalizar um problema matemático.

A obra de Arquimedes pode ser dividida em três categorias bastante sobrepostas: geometria; física e mecânica; e dispositivos de engenharia. O mais importante legado de Arquimedes deu-se no campo da geometria, no qual ele afirmou e provou teoremas que determinaram as áreas de certas regiões planas demarcadas por curvas e as áreas de determinadas áreas tridimensionais (os chamados problemas de quadratura). Similarmente, Arquimedes estabeleceu os volumes de determinados sólidos tridimensionais demarcados por superfícies curvas (as chamadas curvaturas). Seu mais famoso resultado de quadratura é que a área de um segmento parabólico representa quatro-terços da área do triângulo inscrito. Nesse trabalho, Arquimedes estabeleceu e definiu a soma de uma série geométrica. Ele obteve uma aproximação muito exata da área de um círculo, o que se mostrou equivalente a uma aproximação muito boa do número "pi". Sua obra combinou grande imaginação e criatividade com tremenda precisão. Ele considerava que sua maior realização científica era a prova de que o volume de uma esfera é dois terços do volume do cilindro circunscrito. Com esses resultados de volume e de área, Arquimedes antecipou o cálculo integral. No entanto, o desenvolvimento do cálculo integral teve de esperar até o século dezessete da era moderna, e especialmente o trabalho de Newton e de Leibniz.

Nos campos da física e da mecânica, Arquimedes formulou a lei da alavanca, mostrou a importância do conceito do centro de gravidade e como determiná-lo em muitos objetos e inaugurou um novo ramo: a hidrostática. Enquanto o lugar de Arquimedes na história permanece em relação a suas contribuições para a matemática e a física, durante sua vida sua reputação baseou-se no uso e no valor dos dispositivos mecânicos que inventou. Entre eles incluíam-se as polias compostas, a bomba de parafuso para irrigação, dispositivos ópticos e espelhos, e vários engenhos de guerra, como fortificações, catapultas e espelhos (ou lentes) que incendiavam navios inimigos. Atendendo sua vontade, foi gravada em seu túmulo a figura de um cilindro circunscrito a uma esfera. 

http://www.ufmt.br/icet/matematica/geraldo/biografia.htm

PRODUTOS NOTÁVEIS

Produtos notáveis são multiplicações entre binômios muito frequentes na Matemática, envolvendo cálculos algébricos. Os produtos entre binômios mais conhecidos são:

Quadrado da soma entre dois termos:

(a + b)² = a² + 2ab + b²

Quadrado da diferença entre dois termos:

(a – b)² = a² – 2ab + b²

Cubo da soma entre dois termos:

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

Cubo da diferença entre dois termos:

(a – b)³ = a³ – 3a²b + 3ab² – b³

Produto da soma pela diferença:

(a + b) * (a – b) = a² – b²

Os casos especiais são os seguintes:

Quadrado da soma entre três termos:

(a + b + c)² = (a + b + c) * (a + b + c) = a² + ab + ac + ab + b² + bc + ac + bc + c² =a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc

Nesse caso temos a possibilidade de aplicar a seguinte regra prática:

O somatório entre,

O quadrado do 1º termo.
O quadrado do 2º termo.
O quadrado do 3º termo.
O dobro do 1º termo pelo 2º termo.
O dobro do 1º termo pelo 3º termo
O dobro do 2º termo pelo 3º termo.

As seguintes multiplicações também são consideradas casos especiais, pois a resolução pode ser realizada aplicando uma regra prática.

(a + b) * (a² – ab + b²) = a³ – a²b + ab² + a²b – ab² + b³ = a³ + b³

(a – b) * (a² + ab + b²) = a³ + a²b + ab² – a²b – ab² – b³ = a³ – b³

            A criação de novas regras práticas relacionadas ao desenvolvimento de determinados produtos notáveis é um ramo aberto na Matemática. Dessa forma, ao manipular os termos algébricos podemos criar novas regras práticas na resolução de situações algébricas.
 

Por Marcos Noé - Graduado em Matemática - Equipe Brasil Escola

http://www.brasilescola.com/matematica/casos-especiais-envolvendo-produtos-notaveis.htm

ENTENDO EQUAÇÕES ALGÉBRICAS

Os problemas matemáticos são resolvidos utilizando inúmeros recursos matemáticos, destacando, entre todos, os princípios algébricos, os quais são divididos de acordo com o nível de dificuldade e abordagem dos conteúdos. Nas séries iniciais os cálculos envolvem adições e subtrações; posteriormente, multiplicações e divisões.
Na 2ª fase do Ensino Fundamental os problemas são resolvidos com a utilização dos fundamentos algébricos, isto é, criamos equações matemáticas com valores desconhecidos (letras). Observe algumas situações que podem ser descritas com utilização da álgebra.

O dobro de um número adicionado com 4 → 2x + 4.
A soma de dois números consecutivos → x + (x + 1)
O quadrado de um número mais 10 → x² + 10
O triplo de um número adicionado ao dobro do número → 3x + 2x
A metade da soma de um número com 15 → (x + 15)/2
A quarta parte de um número → x/4

Exemplo 1

A soma de três números pares consecutivos é igual a 96. Determine-os.

1º número: x
2º número: x + 2
3º número: x + 4

( x )+(x + 2) + (x + 4) = 96

Resolução

x + x + 2 + x + 4 = 96
3x = 96 – 4 – 2
3x = 96 – 6
3x = 90
x = 90/3
x = 30

1º número: x → 30
2º número: x + 2 → 30 + 2 = 32
3º número: x + 4 → 30 + 4 = 34

Os números procurados são 30, 32 e 34.

Exemplo 2

O triplo de um número natural somado a 4 é igual ao quadrado de 5. Calcule-o:

Resolução:

3x + 4 = 5²
3x = 25 – 4
3x = 21
x = 21/3
x = 7

O número procurado é igual a 7.

Exemplo 3

A idade de um pai é o quádruplo da idade de seu filho. Daqui a cinco anos, a idade do pai será o triplo da idade do filho. Qual é a idade atual de cada um?

Resolução:

Atualmente:

Filho: x
Pai: 4x

Futuramente:
Filho: x + 5
Pai: 4x + 5

4x + 5 = 3 * (x + 5)
4x + 5 = 3x + 15
4x – 3x = 15 – 5
x = 10

Pai: 4x → 4 * 10 = 40

O filho tem 10 anos e o pai tem 40.

Exemplo 4

O dobro de um número adicionado ao seu triplo corresponde a 20. Qual é o número?

Resolução

2x + 3x = 20
5x = 20
x = 20/5
x = 4

O número corresponde a 4.

Exemplo 5

Em uma chácara existem galinhas e coelhos totalizando 35 animais, os quais somam juntos 100 pés. Determine o número de galinhas e coelhos existentes nessa chácara.

Galinhas: g
Coelhos: c

g + c = 35

Cada galinha possui 2 pés e cada coelho 4, então:

2g + 4c = 100

Sistema de equações
 

Isolando c na 1ª equação:

g + c = 35
c = 35 – g

Substituindo c na 2ª equação:

2g + 4c = 100
2g + 4 * (35 – g) = 100
2g + 140 – 4g = 100
2g – 4g = 100 – 140
– 2g = – 40
g = 40/2
g = 20

Calculando c

c = 35 – g
c = 35 – 20
c = 15

Por Marcos Noé - Graduado em Matemática - Equipe Brasil Escola

http://www.brasilescola.com/matematica/problemas-matematicos.htm

CRIAÇÃO DO XADREZ

Existem diversas mitologias associadas à criação do jogo de xadrez, sendo uma das mais famosas aquela que a atribui a um jovem brâmane indiano chamado Lahur Sessa. Segundo a lenda do xadrez, contada em O Homem que Calculava, do escritor e matemático Malba Tahan, numa província indiana chamada Taligana havia um poderoso rajá que havia perdido o filho em batalha. O rajá estava em constante depressão e passou a descuidar-se de si e do reino.

Certo dia o rajá foi visitado por Sessa, que apresentou ao rajá um tabuleiro com 64 casas brancas e pretas com diversas peças que representava a infantaria, a cavalaria, os carros de combate, os condutores de elefantes, o principal vizir e o próprio rajá. Sessa explicou que a prática do jogo daria conforto espiritual ao rajá, que finalmente encontraria a cura para a sua depressão, o que realmente ocorreu.

 O brâmane indiano Lahur Sessa criando o Chaturanga, predecessor do Jogo de Xadrez (na concepção do artista brasileiro Thiago Cruz, 2007).

 

O rajá, agradecido, insistiu para que Sessa aceitasse uma recompensa por sua invenção e o brâmane pediu simplesmente um grão de trigo para a primeira casa do tabuleiro, dois para a segunda, quatro para a terceira, oito para a quarta e assim sucessivamente até a última casa. Espantado com a modéstia do pedido, o rajá ordenou que fosse pago imediatamente a quantia em grãos que fora pedida.

Depois que foram feitos os cálculos, os sábios do rajá ficaram atônitos com o resultado que a quantidade grãos havia atingido, pois, segundo eles, toda a safra do reino durante 2.000 anos não seriam suficientes para cobri-la. Impressionado com a inteligência do brâmane, o rajá o convidou para ser o principal vizir do reino, sendo perdoado por Sessa de sua grande dívida em trigo.

http://www.tabuleirodexadrez.com.br/historia-do-xadrez.htm 

2 É IGUAL A 1

Vamos verificar:

Sejam a e b pertencentes ao reais, sendo a e b diferentes de zero. Suponhamos que a = b.

 

Então, se a=b, multiplicando os dois lados da igualdade por a temos:

 a² = ab

Subtraindo b² dos dois lados da igualdade temos:

a² - b² = ab - b² 

Sabemos (fatoração), que a²-b²=(a+b)(a-b). Logo:

(a+b)(a-b) = ab - b²

Colocando b em evidência do lado direito temos:

(a+b)(a-b) = b(a-b)

Dividindo ambos os lados por (a-b) temos:

a + b = b

Como no início dissemos que a=b, então no lugar de a eu posso colocar b:

b + b = b

Portanto 2b=b. Dividindo ambos os lados por b finalmente chegamos a conclusão:

2 = 1

Tente descobrir onde está o erro e envie sua resposta através dos comentários.

Em breve estaremos divulgando a resposta. 

http://www.somatematica.com.br/absurdos/doisigualaum.php

MULTIPLICANDO 11 POR OUTRO NÚMERO DE 3 ALGARISMOS

Quando queremos multiplicar um número de 3 algarismos por 11, façamos o seguinte:

Exemplo:

128 x 11;

Somando o primeiro com o segundo algarismo, desse número temos: 1 + 2 = 3 (esse primeiro número equivale a dezena, nesse caso o 3 será 30). Somando o segundo com o terceiro algarismo desse número temos: 2 + 8 = 10. Esses dois resultados serão colocados no meio do número 128 tirando seu algarismo do meio: 1408.

Outros exemplos:

123 x 11 = 1353

152 x 11 = 1672

 

http://fisicomaluco.com/wordpr

AS TRÊS DIVISÕES DO HOMEM QUE CALCULAVA

Numa antiga aldeia nos arredores de Bagdá, Beremiz e seu companheiro de viagem encontraram um pobre viajante, roto e ferido.

Socorreram o infeliz e tomaram conhecimento de sua desgraça: era um bem-sucedido mercador de Bagdá que viajava numa caravana que tinha sido atacada por nômades do deserto. Todos os seus companheiros tinham perecido e ele, milagrosamente, tinha conseguido escapar ao se fingir de morto.

Ao concluir sua narrativa, pediu alguma coisa para comer, pois estava quase a morrer de fome. Beremiz tinha 5 pães e seu companheiro, 3 pães. O mercador fez a proposta de compartilhar esses pães entre eles e que, quando chegasse a Bagdá, pagaria 8 moedas de ouro pelo pão que comesse.

Assim fizeram. No dia seguinte, ao cair da tarde, chegaram na célebre cidade de Bagdá, a pérola do Oriente. Como tinha prometido, o mercador quis entregar 5 moedas a Beremiz e 3 a seu companheiro. Com grande surpresa, recebeu a seguinte resposta:

– Perdão, meu senhor. A divisão, feita desse modo, pode ser muito simples, mas não é matematicamente correta. Se eu dei 5 pães devo receber 7 moedas; o meu companheiro, que deu 3 pães, deve receber apenas uma moeda.

Pelo nome de Maomé! Retrucou o mercador. – Como justificar, ó estrangeiro, tão disparatada forma de pagar 8 pães com 8 moedas? Se contribuíste com 5 pães, por que exiges 7 moedas? Se o teu amigo contribuiu com 3 pães, por que afirmas que ele deve receber uma única moeda?

O Homem que Calculava aproximou-se do mercador e falou:

– Vou provar-vos, ó senhor, que a divisão das 8 moedas, pela forma por mim proposta, é matematicamente correta. Quando, durante a viagem, tínhamos fome, eu tirava um pão da caixa em que estavam guardados e repartia-o em três pedaços. Se eu dei 5 pães, dei, é claro, 15 pedaços; se o meu companheiro deu 3 pães, contribuiu com 9 pedaços. Houve, assim, um total de 24 pedaços, cabendo portanto, 8 pedaços para cada um. Dos 15 pedaços que dei, comi 8; dei na realidade 7; o meu companheiro deu, como disse, 9 pedaços e comeu, também, 8; logo deu apenas um. Os 7 pedaços que eu dei e o que ele forneceu formaram os 8 pedaços que couberam a você, mercador.

Maravilhado, o mercador reconheceu que era lógica, perfeita e irrefutável a demonstração apresentada pelo matemático Beremiz e imediatamente se dispôs a pagar da forma que tinha sido defendida.

– Esta divisão – retorquiu o calculista – de sete moedas para mim e uma para meu amigo, conforme provei, é matematicamente correta, mas não é perfeita de acordo com meus princípios éticos.

E tomando as moedas do mercador, dividiu-as em duas partes iguais. Deu para seu companheiro quatro moedas, guardando para si as quatro restantes.

O homem que calculava (Malba Tahan) - http://www.educared.org/educa/index.cfm?pg=oassuntoe.interna&id_tema=13&id_subtema=1&cd_area_atv=5

OUTRA FORMA DE CALCULAR POTÊNCIAS

Pitágoras descobriu que existe outra forma de calcular potências: através da soma de números ímpares. Ele descobriu que n² é igual a soma dos n primeiros números naturais ímpares.

Exemplos: 

5² = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25

11² = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21 = 121 

http://www.somatematica.com.br/curiosidades/c7.html