COMPUTADORES - AS MÁQUINAS COM MEMÓRIA

John Von Neumann (1903 - 1957)

John Von Neumann nasceu em Budapeste; foi professor em Berlim e Hamburgo.

Em 1930, indo para a América do Norte, tornou-se juntamente com Einstein, um dos primeiros membros permanentes do instituto de Estudos Avançados.

Em 1944 e 1946, Von Neumann ajudou a preparar o relatório para o exército sobre capacidade dos computadores e em 1949 o primeiro computador com programa em reserva passou a ser utilizado.

A era da computação eletrônica começou por volta de 1925 no Instituto de Tecnologia de Massachusetts (M.l.T.) onde se construiu uma grande calculadora com motores elétricos e uma parte mecânica mas ainda muito vagarosa.

Em 1930, a International Business Machines Corporation (IBM) construiu o MARK 1, uma calculadora eletromecânica totalmente automática, superada logo depois pelo ENIAC que era baseado em fluxo de elétrons através de tubos de vácuo, construído devido às necessidades militares da época sendo que um dos responsáveis pelo projeto foi Von Neumann.

Em 1951 surgiu o UNIVAC I, hoje ultrapassado.

Von Neumann é considerado um dos mais versáteis e criativos matemáticos, o primeiro a dar um tratamento novo à Matemática Econômica. Sua obra "Teoria dos Jogos e Conduta Econômica", de 1944, teve papel fundamental no desenvolvimento das Ciências Sociais.

Juntamente com Wiener, dedicou-se à teoria quântica sendo nomeado em 1955 para a Comissão de Energia Atômica Americana.

Von Neumann não só se dedicou à Matemática Aplicada como também fez muitas contribuições à Matemática Pura, em Teoria dos Conjuntos, Teoria dos Grupos, Cálculo Operacional, Probabilidades, Lógica Matemática e Fundamentos.

Em 1929 deu ao "espaço de Hilbert" esse nome e seus principais axiomas bem como sua forma abstrata atual, mostrando valorizar as descobertas anteriores sobre as quais expandiu seu campo de pesquisas.

Fundamentos da Matemática Elementar – Vol. 5 – Samuel Hazzan

INGLESES OFENDIDOS POR ALEMÃO

Carl G. J. Jacobi (1804 - 1851) 

Carl Gustav Jacob Jacobi nasceu na Alemanha. Seu pai era um próspero banqueiro, nunca tendo lhe faltado nada. Obteve boa instrução na Universidade de Berlim, concentrando-se em Filosofia e Matemática à qual acabou por dedicar-se inteiramente. Era professor nato e gostava de transmitir suas ideias.

Na mesma época que Gauss e Abel, Jacobi desenvolveu a teoria sobre as funções elíticas. Tendo conhecimento de que Abel havia entregue a Cauchy alguns ,artigos sobre o assunto, Jacobi escreveu ao mestre francês perguntando por eles na esperança de obter informações que confirmassem sua descoberta. Cauchy, entretanto, tinha perdido os escritos de Abel.

Seu tratado clássico "Fundamentos da Nova Teoria das Funções Elíticas" apareceu em 1829, ano da morte de Abel, e mereceu elogios até de Legendre. Em 1834 provou que se uma função unívoca de uma variável é duplamente periódica, a razão entre os períodos não pode ser real e é impossível que ela tenha mais de dois períodos distintos. A ele também devemos o estudo das "funções theta de Jacobi", funções inteiras das quais as elíticas são quocientes.

Até essa época, a teoria dos determinantes aparecia nos trabalhos de alguns matemáticos como Leibniz, Cramer e Lagrange, mas com ideias esporádicas. O desenvolvimento contínuo dessa teoria teve lugar somente no século XI X e seu principal colaborador foi Jacobi, além de Cauchy, construindo algoritmos, dando regras práticas com grande preocupação pelas notações de determinantes e em 1829 usou pela primeira vez os "jacobianos", determinantes especiais análogos para funções de várias variáveis, do quociente diferencial de uma função de uma variável. Através deles conseguiu provar o teorema dos quatro quadrados de Fermat-Lagrange e também com a utilização dos jacobianos conseguiu saber quando uma coleção de funções é independente.

Os artigos de Jacobi, bem como os de Abel e Dirichlet apareceram frequentemente no Journal de Crelle.

Em 1842, quando Jacobi visitou Paris, perguntaram-lhe quem era o maior matemático inglês vivo e ele, impressionado com tantas descobertas francesas importantes, respondeu: "Não há nenhum", o que foi considerado muito deselegante e cruel de sua parte.

Fundamentos da Matemática Elementar – Vol. 4 – Gelson Iezzi e Samuel Hazzan

NAPOLEÃO DEMITE MINISTRO DO INTERIOR

Pierre-Simon de Laplace (1749 - 1827)

Pierre-Simon de Laplace, francês, de descendência humilde, estudou na Academia Militar por influência de amigos.

Sem grandes convicções políticas, pouco participou de atividades revolucionárias embora tenha sido nomeado por Napoleão para o cargo de Ministro do Interior do qual foi despojado logo mais, pois, como dizia o próprio Napoleão, "ele transportava o espírito do infinitamente pequeno à direção dos negócios de sua pasta". Mesmo assim, acabada a Revolução Francesa, recebeu o título de marquês e em suas obras procurava sempre incluir elogios fervorosos ao grupo que estivesse no poder, procurando assim fazer as pazes com cada regime que aparecesse.

Laplace foi professor na Escola Normal e na Escola Politécnica, participando também do Comitê de Pesos e Medidas.

Seus principais resultados foram em Teoria das Probabilidades, publicando uma obra admirável que é a "Teoria Analítica das Probabilidades" em 1812, onde mostra ter conhecimentos avançados de Análise.

Em "Ensaio filosófico das probabilidades" escreveu que "no fundo a Teoria das probabilidades é apenas o senso comum expresso em números".

Em "Teoria Analítica" encontramos entre outros resultados, o cálculo de p através dos problemas das agulhas de Buffon, esquecido há muitos anos, e um estudo da probabilidade inversa iniciado por Bayes.

Em "Exposição do Sistema do Mundo", de 1796, e em "Mecânica Celeste", de 1799, apresentou sua hipótese de que o sistema solar se originou de um gás incandescente girando em torno de um eixo que, ao esfriar, se contraiu causando rotação cada vez mais rápida até que da camada externa se desprenderam sucessivos anéis que formaram os planetas. O centro restante da massa de gás, em rotação, constituiu o sol. Esta publicação marcou o auge da teoria de Newton, explicando todas as perturbações do sistema solar, sua estabilidade e seu movimento que é secular, não lhe parecendo mais necessário admitir a intervenção divina em certas ocasiões.

Para Laplace a natureza era a essência e a Matemática apenas uma coleção de instrumentos, que ele sabia manejar com muita habilidade sempre mantendo um sentimento de honestidade intelectual com as Ciências.

Fundamentos da Matemática Elementar – Vol. 4 – Gelson Iezzi e Samuel Hazzan

MOSCOU: PRESO ESCREVE OBRA

Jean V. Poncelet (1788 - 1867)

Jean Victor Poncelet nasceu em Metz, no ano de 1788.

Tendo-se destacado como estudante quando cursava a Escola Politécnica de Metz, Poncelet tornou-se conhecido como excelente professor de Matemática, sendo convidado a servir como engenheiro no exército napoleônico.

Em 1812, Poncelet lutou com as forças francesas na Rússia, caindo prisioneiro, Durante os dezoito meses de cativeiro, começou a escrever um de seus trabalhos mais notáveis: a Geometria Projetiva, teoria em que Desargues e Pascal tinham dado os primeiros passos, no século XVII.

Em 1814, Poncelet retornou à França e, a partir de 1815, começou a publicar suas criações nos "Anais da Matemática". Seus trabalhos iniciais versavam sobre os polígonos inscritos e circunscritos a uma cônica.

O grande trabalho de Poncelet, "Ensaio sobre as projetivas das seções cônicas", só apareceu em 1820 e foi melhorado e reproduzido dois anos depois com o título "Tratado das propriedades projetivas das figuras". Nestas obras, Poncelet observou que certas propriedades das figuras se mantém constantes, quando as figuras sofrem deformações por projeções.

Poncelet foi ainda o criador da teoria da polaridade e do princípio da dualidade, base sobre a qual outros matemáticos como De Morgan, Whitehead e Russel desenvolveram posteriormente seus trabalhos.

Finalmente, Poncelet atingiu o máximo de sua criação quando estabeleceu o conceito de razão dupla ou anarmônica. Com base nesta descoberta, posteriormente, Klein conseguiu unificar as geometrias numa só, criando a pan-geometria.

Poncelet faleceu em 1867 na mesma cidade onde nascera.

Fundamentos da Matemática Elementar – Vol. 3 – Gelson Iezzi

CONDUÇÃO DO CALOR: NOVA TEORIA

Jean B. J. Fourier ( 1768 - 1830)

Jean Baptiste Joseph Fourier nasceu em Auxerre, em 1768. Órfão aos 8 anos, Fourier foi colocado no Colégio Militar, dirigida pelos beneditinos.

Aos 12 anos, Fourier começou a mostrar parte do seu talento, redigindo sermões para sacerdotes de várias cidades. Dois anos mais tarde iniciou seus estudos de Matemática, conseguindo grande destaque. Considerado menino-prodígio, foi convidado a ingressar na ordem dos beneditinos mas, antes de ordenar-se, chegou a Revolução de 1789.

Fourier que sempre desejara ser militar, aderiu com entusiasmo à causa da Revolução. Com a criação da Escola Normal e da Escola Politécnica, das quais foi conferencista, Fourier começou a desenvolver os trabalhos que o imortalizaram como matemático. Data dessa época sua teoria para calcular raízes irracionais das equações algébricas, cujo estudo Newton iniciara.

Tendo acompanhado Napoleão no Egito, Fourier desenvolveu ali estudos de arqueologia, tornando-se especialista em egiptologia. Fourier trabalhou nessa época como engenheiro, dirigindo uma fábrica de armamentos do exército francês no Egito.

Voltando à França em 1812, Fourier desenvolveu, na sua obra "Memorial", uma teoria sobre a condução do calor, tornando-se precursor da Física-Matemática. Neste último estudo, o matemático francês foi levado a criar um novo tipo de desenvolvimento em série, diferente do método de Taylor por empregar funções periódicas em vez de potências, e que recebeu seu nome.

Em 1830 morreu Fourier; vítima de um aneurisma cerebral.

Fundamentos da Matemática Elementar – Vol. 3 – Gelson Iezzi

PADRE REFUGIA-SE NA MATEMÁTICA

Bernhard Bolzano (1781 – 1848)

Bernhard Bolzano nasceu e morreu em Praga, Tchecoslováquia, e embora fosse padre tinha ideias contrárias às da Igreja.

Suas descobertas matemáticas foram muito pouco reconhecidas por seus contemporâneos.

Em 1817 publicou o livro "Rein Analytisches Beweis" (Prova puramente analítica), provando através de métodos aritméticos o teorema de locação em Álgebra, exigindo para isso um conceito não geométrico de continuidade de uma curva ou função.

Bolzano, a essa época, já havia percebido tão bem a necessidade de rigor em Análise, que Klein o chamou "pai da aritmetização", embora tivesse menos , influência que Cauchy com sua análise baseada em conceitos geométricos mas embora os dois nunca tivessem se encontrado, suas definições de limite, derivada, continuidade e convergência eram bem semelhantes.

Em uma obra póstuma de 1850, Bolzano chegou a enunciar propriedades importantes dos conjuntos finitos e, apoiando-se nas teorias de Galileu, mostrou que existem tantos números reais entre 0 e 1, quanto entre 0 e 2, ou tantos em um segmento de reta de um centímetro quanto em um segmento de reta de dois centímetros.

Parece ter percebido que a infinidade de números reais é de tipo diferente da infinidade de números inteiros, sendo não enumeráveis, estando mais próximo da Matemática moderna do que qualquer um de seus contemporâneos.

Em 1834, Bolzano havia imaginado uma função contínua num intervalo e que não tinha derivada em nenhum ponto desse intervalo, mas o exemplo dado não ficou conhecido em sua época, sendo todos os méritos dados a Wieirstrass que se ocupou em redescobrir esses resultados, depois de cinquenta anos. Conhecemos hoje como teorema de Bolzano-Weierstrass aquele segundo o qual um conjunto limitado contendo infinitos elementos, pontos ou números, tem ao menos um ponto de acumulação.

O mesmo aconteceu com os critérios de convergência de séries infinitas que levam hoje o nome de Cauchy e assim também com outros resultados.

Há quem diga que Bolzano era "uma voz clamando no deserto".

Fundamentos da Matemática Elementar – Vol. 3 – Gelson Iezzi

ENGENHEIRO DE NAPOLEÃO ERA MONARQUISTA

Augustin-Louis Cauchy (1789 - 1857)

Augustin-Louis Cauchy nasceu em Paris, logo após a queda da Bastilha.

Cursou a Escola Politécnica, onde mais tarde foi professor, pois gostava muito de ensinar, e aceitou a cadeira de Monge na Academia, quando este foi demitido. Ainda como estudante contou com o apoio de Laplace e Lagrange que se interessaram por seu trabalho.

Cauchy chegou a ser um dos engenheiros militares de Napoleão. Católico devoto e reacionário convicto, defendia vigorosamente a Ordem dos Jesuítas e quando Carlos X, seu rei, foi exilado, também deixou Paris, recebendo mais tarde o título de barão como recompensa por sua fidelidade.

Produziu grande quantidade de livros e memórias, a maioria dedicada à Matemática Pura e sempre dando ênfase às demonstrações rigorosas.

Uma de suas características marcantes era que, obtendo um novo resultado, logo tratava de publicá-lo, ao contrário Do que fazia Gauss. Assim, contribuiu amplamente com suas memórias para o "Journal" da Escola Politécnica e para os "Comptes Rendus" (Notícias) da Academia, onde se aplicou, a partir de 1814, em teoria das funções de variáveis complexas, da qual é um dos criadores.

Data de 1812 seu primeiro trabalho sobre determinantes, com 84 páginas, passando a aplicá-los nas mais diversas situações como, por exemplo, na propagação de ondas.

Entre 1821 e 1829, publicou três obras que deram ao Cálculo elementar o caráter que tem hoje, definindo precisamente limite, derivada e integral; os conceitos de funções e de limites de funções eram fundamentais. Estas obras de Cauchy foram desenvolvidas quase ao mesmo tempo e com idéias semelhantes por Bolzano, um padre tcheco.

Cauchy está ligado a muitos teoremas sobre séries infinitas, essenciais à teoria das funções, e em Geometria conseguiu generalizar a fórmula poliedral de Descartes-Euler.

Em Teoria dos Números, provou o teorema de Fermat, um dos mais difíceis e produto de pesquisas iniciadas pelos pitagóricos cerca de 2300 anos antes. Juntamente com Navier, Cauchy foí fundador da teoria matemática da Elasticidade e também auxiliou o desenvolvimento da Mecânica celeste.

Cauchy, tanto quanto seu contemporâneo Gauss, contribuiu para quase todas as partes da Matemática e sua grande quantidade de obras publicadas só é superada por Euler.

Fundamentos da Matemática Elementar – Vol. 3 – Gelson Iezzi

LIBERADA PUBLICAÇÃO DE SEGREDO MILITAR

Gaspard Monge (1746 - 1818)

Gaspard Monge, francês, filho de um pobre negociante, por influência de um tenente-coronel assistiu às aulas na Escola Militar de Meziere onde seria professor mais tarde.

De grande capacidade, foi um dos matemáticos da Revolução Francesa, contribuindo com muitos artigos para as "Memórias da Academia de Ciências".

Tornou-se um dos mais notáveis cientistas franceses tendo talvez maior reputação como físico e químico do que matemático. Participou junto a Lavoisier de experiências que revolucionariam a Química em 1789.

Monge foi membro do Instituto Nacional Que ocupou o lugar da Academia na época da Revolução.

Como matemático, sua principal obra foi “Geometria Descritiva", mantida secretamente guardada por seus superiores até 1794, pois achavam de interesse da defesa nacional. Neste trabalho se utilizou muito de diagramas, mas pareceu finalmente ter concordado com Lagrange em evitá-los na Geometria Analítica elementar.

Monge, tanto quanto Carnot e Condorcet, participou ativamente de campanhas revolucionárias, chegando a ser Ministro da Marinha e responsável pela assinatura do relatório oficial do julgamento e execução do rei. Depois de um ano se afastou desse cargo, mantendo-se sempre ativo em operações pol{ticas e militares e publicou importante trabalho com o titulo "Descrição da Arte de Fabricar os Canhões".

Foi o principal defensor das instituições de ensino. Membro de uma comissão de obras públicas, em 1794, estimulou a fundação da Escola Politécnica especializada no preparo de engenheiros, da qual foi professor e administrador.

Ensinava o que chamamos de Geometria Descritiva e também aplicação da Análise a Geometria, tendo impressionado tanto Lagrange com seus resultados que se diz este ter exclamado: "Com sua aplicação da Análise à Geometria o diabo do homem se tornará imortal".

Deve-se a Monge o ressurgimento da Geometria no espaço, com um tratamento totalmente algébrico. Em 1975 publicou "Folhas de Análise" dando forma à Geometria Analítica em três dimensões que se inclue em textos de cursos universitários atuais e chegou até nós, graças à preocupação dos alunos em publicá-Ia.

No fim da Revolução recebeu muitas honrarias, pois sempre apoiou Napoleão. Com a restauração da monarquia francesa boi banido, perdeu até mesmo no posto na Escola Politécnica e no Instituto Nacional, morrendo logo depois.

Fundamentos da Matemática Elementar – Vol. 2 – Gelson Iezzi, Osvaldo Dolce e Carlos Murakami

ESCRITO UM POEMA CIENTÍFICO

Joseph L. Lagrange ( 1736 - 1813)

Joseph Louis Lagrange nasceu em Turin, Itália.

Bem jovem tornou-se professor na Escola Real de Artilharia em Turin, fazendo sua primeira publicação em 1759 na "Miscelânea", revista da Academia.

Lagrange substituiu Euler na Academia de Berlim, por convite de Frederico, o Grande, aí passando vinte anos. Em Berlim publicou importantes obras sobre Mecânica, problema dos três corpos, primeiras idéias de funções e importantes trabalhos sobre teoria das equações. Após a morte de Frederico, foi para a França, convidado por Louís XVI, onde tomou parte no Comitê de Pesos e Medidas.

Foi o primeiro professor da Escola Politécnica onde ensinava Análise, escrevendo notas de curso em vários níveis mais tarde publicadas no clássico "Teoria das Funções Analíticas", marcante em seu rigor e tentando tornar o Cálculo mais lógico do que prático. Nesta obra impulsionou a teoria das funções de variável real que a partir daí ocuparia a atenção dos matemáticos, utilizando-se nela da notação para derivadas de várias ordens.

Na Escola Normal, Lagrange preparou e ministrou aulas, hoje equivalentes às do curso colegial ou pré-universitário, em Álgebra avançada.

Lagrange muito contribuiu para o estudo do Cálculo das Variações, um ramo novo da Matemática no século XVIII, resolvendo com esta teoria vários problemas de isometria, chegando a ser considerado superior mesmo por Euler.

Em Teoria dos Números fez importantes demonstrações, provando, por exemplo, que todo inteiro positivo é a soma de no máximo quatro quadrados perfeitos. Em 1788,, Lagrange publicou sua "Mecânica Analítica" considerada um poema científico pela perfeição e grandeza de sua estrutura, associando-se mais à Matemática Pura do que à Aplicada. Sua ideia fundamental influiria muito nas reformas educacionais da Revolução Francesa e, como dizia o próprio Lagrange: "parece-me que as soluções que vou apresentar serão de interesse para os geômetras tanto pelos métodos quanto pelos resultados. Essas soluções serão puramente analíticas e podem ser entendidas mesmo sem figuras", e realmente não há um único diagrama em seu trabalho.

Lagrange era uma pessoa muito melancólica, com poucas participações em política e movimentos revolucionários, sendo que para ele a Matemática era uma arte sublime, sua própria razão para existir.

Fundamentos da Matemática Elementar – Vol. 2 – Gelson Iezzi, Osvaldo Dolce e Carlos Murakami

AUTODIDATA CRIA ANÁLISE

Gottfried W. Leibniz ( 1646 - 1716) 

Gottfried Weilhetm Leibniz nasceu em Leipizig; aos quinze anos entrou na Universidade, aos dezessete já era bacharel e aos vinte doutorou-se em Nuremberg.

 Adquiriu grande conhecimento geral em Teologia, Direito, Filosofia e Matemática sendo considerado um dos últimos sábios. Viajou muito representando o governo como diplomata e, numa de suas visitas a Londres, em 1643, tornou-se membro do Royal Society.

Leibniz, por ser autodidata, freqüentemente redescobria teorias e as desenvolvias como é o caso de sua primeira realização em séries infinitas:, expansão da teoria de Gregori.

Ao estudar um problema proposto por Huygens, acabou por fazer uma descoberta, o triângulo harmônico, análogo ao triângulo de Pascal que fascinava Leibniz. Passou então a estudar as obras de Pascal sobre cilóides e séries infinitas, generalizando um método importante para soma e diferença de funções, tanto racionais como irracionais, algébricas ou transcendentes (palavra que ele criou).

Percebendo a grande importância das notações como auxiliar de pensamento, é responsável por muitas delas corno dx e dy para diferenciais em x e y, ∫ydx para integrai e foi o primeiro a empregar as expressões "cálculo diferencia!", "cálculo integral" e "função". Usou o ponto para multiplicação e escreveu proporção na forma a : b = c : d o que nos sugeriu: para indicar divisão. Ainda criou a notação ~ para "é semelhante a" e  ~ para "é congruente a".

Leibniz e Newton é que persistiram no uso do sinal =, criado por Recorde, até hoje usado.

Em 1684, sob o título de "Um novo método para máximos e mínimos, e também para tangentes, que não é obstruído por quantidades irracionais", expõe, pela primeira vez, seu cálculo diferencial dando às fórmulas de derivação: dxy = xdy + ydx, d  = e dxⁿ = nx^n-1dx, juntamente com aplicações geométricas.

Sua obra mais famosa é "Acta Eruditorum" (Anotações dos eruditos) onde observou uma diferenciação e integração são operações inversas enunciando o teorema fundamental do cálculo é mostrando que as funções transcendentes são fundamentais em Análise.

Sua teoria de diferenciação, pelas notações usou, foi mais aceita do que a Teoria dos Fluxos. de Newton, embora os dois tivessem desenvolvido a Análise na mesma época.

Em 1693, numa carta a L'Hospital, chegou a dar antecipação da teoria dos determinantes.

Como filósofo pretendia reduzir as discussões lógicas a formas sistemáticas. Otimista ao extremo, sempre acreditou numa futura universalização da linguagem, o que foi muito produtivo para a Matemática.

Fundamentos da Matemática Elementar – Vol. 2 – Gelson Iezzi, Osvaldo Dolce e Carlos Murakami

CEGO ENXERGA LONGE

Leonhard Euler (1707 - 1783)

Leonhard Euler nasceu em Basiléia, Suíça, onde seu pai era ministro religioso e possuía alguns conhecimentos matemáticos.

Euler foi aluno de Jean Bernoulli e amigo de seus filhos Nicolaus e Daniel, recebendo ampla instrução em Teologia, Medicina, Astronomia, Física, Línguas orientais e Matemática.

Com o auxílio de Bernoulli entrou para a Academia de S. Petersburgo, fundada por Catarina I, ocupando um lugar na seção de Medicina e Fisiologia, e em 1730 passando à seção de Filosofia por ocasião da morte de Nicolaus e afastamento de Daniel. Tornando-se o principal matemático já aos vinte e seis anos, dedicou-se profundamente à pesquisa compondo uma quantidade inigualável de artigos, inclusive para a revista da Academia. 

Em 1735 perdeu a visão do olho direito, mas suas pesquisas continuaram intensas chegando a escrever até mesmo enquanto brincava com seus filhos. 

Conquistou reputação internacional e recebeu menção honrosa na Academia das Ciências de Paris bem como vários prêmios em concursos. 

Convidado por Frederico, o Grande, Euler passou 25 anos na Academia de Berlim, voltando à Rússia em 1766.

Euler ocupou-se de quase todos os ramos da Matemática Pura e Aplicada, sendo o maior responsável pela linguagem e notações que usamos hoje. Foi o primeiro a empregar a letra e como base do sistema de logaritmos naturais; a letra grega π para razão entre comprimento e diâmetro da circunferência; o símbolo i para; o símbolo ∑ para somatórios.

Deve-se a ele também o uso de letras minúsculas designando lados do triângulo e maiúsculas para seus ângulos opostos; simbolizou logaritmo de x por lx e f(x) para função de x, além de outras notações em Geometria, Álgebra, Trigonometria e Análise.

Euler reuniu Cálculo Diferencial e Método dos Fluxos num só ramo mais geral da Matemática que é a Análise, o estudo dos processos infinitos, surgindo assim sua principal obra, em 1748, a “Introdução à Análise Infinita”, baseando-se fundamentalmente em funções, tanto algébricas como transcendentes elementares (trigonométricas, logarítmicas, trigonométricas-inversas e exponenciais). 

Foi o primeiro a tratar dos logaritmos como expoentes e com ideia correta sobre logaritmo de números negativos.

Muito interessado no estudo de séries infinitas, obteve notáveis resultados que o levaram a relacionar Análise com Teoria dos Números, e para a Geometria, Euler dedicou um apêndice da “Introdução” onde dá a representação da Geometria Analítica no espaço.

Euler escreveu em todos os níveis, em várias línguas, publicando mais de 500 livros e artigos.

Os dezessete últimos anos de sua vida passou em total cegueira, mas o fluxo de suas pesquisas e publicações não diminuiu, escrevendo com giz em grandes quadros-negros ou ditando para seus filhos.

Euler foi descrito pelos matemáticos da época como sendo a própria “Análise encarnada”.

Fundamentos da Matemática Elementar – Vol. 2 – Gelson Iezzi, Osvaldo Dolce e Carlos Murakami

ADVOGADO ENVOLVIDO COM A ÁLGEBRA

Arthur Cayley (1821 - 1895)

Arthur Cayley nasceu na Inglaterra em 1821 e morreu em 1895. Como estudante em Cambridge ganhou muitos prêmios em Matemática. Graduou-se em Trinity e dedicou-se ao Direito durante catorze anos, o que não impediu suas pesquisas matemáticas.

Em 1839 fundou-se na Inglaterra o “Cambridge Mathematical Journal”, principal veículo de comunicação que contou com inúmeros artigos de Cayley assim como outros jornais científicos, característicos do século XIX.

Em 1843 criou a Geometria Analítica no espaço n-dimensional usando determinantes como instrumento básico e foi o primeiro a estudar matrizes, definindo matriz nula, matriz identidade a partir do que se pode pensar em operações sobre elas. Neste aspecto contou com a colaboração de Benjamim e Charles Peirce.

Em 1846, Cayley escreveu um artigo para o “Jornal de Crelle” estendendo o teorema de espaço tridimensional para um espaço de quatro dimensões.

No “Philosophical Transaction” (Transação Filosófica) em 1868, publicou um desenvolvimento do plano cartesiano a duas dimensões como um espaço de cinco dimensões cujos elementos são as cônicas.

Em 1854 aceitou o cargo de professor em Cambridge e em 1881 proferiu uma série de conferências sobre funções abelianas e função theta.

Cayley escreveu muitos artigos sobre invariantes algébricos e, principalmente nesta teoria, teve a ajuda de seu amigo inseparável Sylvester, tanto que foram chamados “gêmeos invariantes”.

Cayley era essencialmente um algebrista mas contribuiu também para a Geometria e em Análise escreveu “Ensaio sobre as funções elíticas”.

Produziu quantidade imensa de artigos e obras durante sua vida, tanto que neste aspecto chega a competir com Cauchy e Euler.

Fundamentos da Matemática Elementar – Vol. 1 – Gelson Iezzi e Carlos Murakami

AS MARGENS DOS LIVROS FALAM

Pierre S. de Fermat (1601 - 1665)

Pierre Simon de Fermat nasceu na França e estudou Direito em Toulouse, aí participando do Parlamento Embora muito ocupado, encontrou tempo para estudar Literatura Clássica, Ciências e Matemática, por puro prazer.

Em 1629 iniciou suas descobertas matemáticas depois de ter-se dedicado á restauração de obras perdidas da Antiguidade.

Baseando-se na coleção Matemática de Pappus, descobriu o princípio fundamental da Geometria Analítica: sempre que numa equação se encontram duas variáveis, os pontos que satisfazem á equação formam uma curva.

Em curto tratado, "Introdução aos lugares planos e sólidos'', dá ênfase ao esboço de soluções de equações, começando com uma equação linear e um sistema de coordenadas arbitrária sobre o qual a esboçou. Como apêndice desta obra escreve "A solução de problemas sólidos por meio de lugares”, observando a solução de equações cubicas e quadráticas.

Os trabalhos de Fermat eram muito mais sistemáticos e didáticos do que os de Descartes e sua Geometria Analítica aproxima-se da atual, tendo em mente a existência de mais de duas ou três dimensões, o que nunca conseguiu provar.

Apesar de não conhecer o conceito de limite, em sua obra "Método para achar máximos e mínimos” aproxima-se bastante do cálculo de hoje. Também seu método para mudar a variável e considerar valores vizinhos é essencial em Análise Infinitesimal, usando-o para achar tangentes de curvas. Ainda em Análise, contribuiu com quadraturas, volumes, comprimentos de curvas e centro de gravidade.

Com a restauração do livro "A Aritmética", de Diofante, muito pouco prático e com muitos algoritmos, Fermat passou a desenvolver um importante ramo da Matemática, a Teoria dos Números, da qual é considerado fundador e onde principalmente cuidou dos números primos.

Sua matemática estava escrita em apontamentos desorganizados, em margens de livros ou em cartas que ele não tinha intenção de publicar.

Fermat é considerado o príncipe dos amadores em Matemática, sempre com muitas descobertas, mas que perderam sua prioridade, pois, devido a sua modéstia, quase nada foi publicado.

Fundamentos da Matemática Elementar – Vol. 1 – Gelson Iezzi e Carlos Murakami

JOVEM LUTA PARA SER OUVIDO

Niels H . Abel ( 1802 - 1829)

Niels Henrik Abel de família numerosa e pobre, era filho do pastor da pequena aldeia de Fíndo, na Noruega.

Aos 17 anos, seu professor insistiu para que lesse as grandes obras matemáticas, inclusive as "Disquísítiones" (Pesquisas) de Gauss. Nesta época, Abel conseguiu generalizar o teorema binomial que Euler só havia provado para potências racionais.

Aos 18 anos perdeu o pai e suas responsabilidades ficaram maiores quanto à família, mas mesmo assim continuou pesquisando e, em 1824, publicou num artigo a prova de que se o grau de uma equação é maior que quatro, não existe uma fórmula geral em função de seus coeficientes para achar suas raízes. Esta era uma dúvida que preocupava os matemáticos há muito tempo e que agora estava resolvida. Uma prova neste aspecto foi dada por Ruffini, anteriormente, mas passou desapercebida e por isso hoje conhecemos este resultado como o "Teorema de Abel-Ruffini", um dos mais importantes da Matemática.

Seu nome também está ligado a grupos abelianos, ou comutativos, e alguns de seus resultados foram publicados no Jornal de Crelle.

Em 1826, Abel visitou Legendre e Cauchy em Paris, numa tentativa de mostrar suas descobertas mas não obteve êxito e numa de suas cartas a um amigo escreveu "Todo principiante tem muita dificuldade em se fazer notar aqui. Acabei um extenso tratado sobre certas classes de funções transcendentes mas M. Cauchy não se dignou a olhá-lo".

Abel esperava obter um posto de professor em alguma Universidade e por isso deixou suas memórias com Cauchy para que fossem examinadas mas este logo as perdeu e ficaram esquecidas.

Devido á falta de recursos morreu aos 26 anos, de tuberculose, deixando profundos e importantes resultados em Álgebra e Teoria dos Números.

Dois dias após sua morte chegou finalmente a carta informando que havia sido nomeado professor na Universidade de Berlim.

Em 183Q, Cauchy achou os manuscritos de Abel que foram publicados em 1841 pelo I instituto Francês e que Legendre classificou como "um monumento mais durável que o bronze", contendo importantes generalizações sobre funções elíticas.

Fundamentos da Matemática Elementar – Vol. 1 – Gelson Iezzi e Carlos Murakami

FAMÍLIA SERVE A CIÊNCIA POR 100 ANOS

Nenhuma família na história da Matemática produziu tantos matemáticos célebres quanto a família Bernoulli. Oriunda dos Países Baixos espanhóis, esta família emigrou em 1583 para Basiléia, na Suíça, fugindo da guerra. Cerca de uma dúzia de membros da família conseguiu renome na Matemática e na Física, sendo quatro deles eleitos como sócios estrangeiros da Academia das Ciências, da França.

Os Bernoullí matemáticos: árvore genealógica

Os primeiros Bernoulli que se destacaram em Matemática foram Jacques e Jean, respectivamente quinto e décimo filhos de Nicolaus.

Jacques viajou muito para encontrar cientistas de outros países. Destacou-se por seus estudos sobre infinitésimos, seus artigos sobre máximos e mínimos de funções publicadas na revista "Acta Eruditorum" (Anotações dos eruditos), suas pesquisas sobre séries infinitas em que aparece o resultado célebre conhecido como "desigualdade de Bernoulli": (1 + x)ⁿ > 1 + + nx. A ele é também atribuída a demonstração de que a série harmônica é divergente.

Jacques tinha uma verdadeira fascinação por curvas, tendo estudado várias delas: a parábola semi-cúbica, a lemníscata, a catenária, a isócrona a espiral logarítmica, etc.

Jean Bernoulli segundo a vontade do seu pai deveria ser médico, porém indo estudar em Paris, desgarrou para a Matemática, escrevendo em 1691-1692 dois livros de Cálculo que foram publicados muito mais tarde. Em 1692, passou a ensinar Cálculo a um jovem marques de L'Hospital e, em troca de um salário regular, concordou em enviar ao nobre francês suas descobertas matemáticas, para serem usadas como o marquês o desejasse. A conseqüência foi que uma das mais importantes descobertas de Jean passou à História com nome "regra de L'Hospital" se f(x) e g(x) são funções diferenciáveis em x = a, f(a) - 0 e g(a) - 0,

então existe  e   =   

Os irmãos Jean e Jacques mantinham intensa correspondência com Leibniz pois todos eles colaboravam com artigos para a mesma revista, "Acta Eruditorum" (Anotações dos eruditos). Jacques é também autor do clássico "Arte de conjecturar", considerada a mais antiga obra sobre probabilidade.

Jean Bernoulli (1667 - 1748)

Jacques Bernoulli (1654 - 1705)

Jean foi pai de Nicolas, Daniet e Jean II. Nicolas foi professor de Matemática em S. Petersburgo e Daniel e Jean II foram professores em Basiléia. Outro Bernoulli, Nicolas II, primo desses três, ocupou durante algum tempo o lugar que foi de Galileu, em Pádua.

Da geração mais jovem foi Daniel que mais se destacou com seus resultados em hidrodinâmica e probabilidade.

Daniel Bernoulli (1700 - 1782)

Houve ainda outros Bernoulli que conseguiram evidencia em Matemática, no século XVIII, fazendo juz ao nome da família.

Fundamentos da Matemática Elementar – Vol. 1 – Gelson Iezzi e Carlos Murakami